养花网n个列向量a1,a2,…,an的最大无关组：
把这n个列向量排在一起,组成一个矩阵,然后用初等行变换将其变成行阶梯型.接下来看每行的非零首元所在列就行了.比如非零首元所在列是第1,3,4列,那么最大无关组就是a1,a3,a4
地点：学院大自习室；人物：小刚，小慧，小明.
讨论内容：向量组的秩.
记录：
4.1最大无关组
我：“上一节我们讨论的是向量组的线性相关性，实际上从线性方程组S的角度来讲，一个方程对应于增广矩阵B的一行，如果B的行向量组是线性相关的，那么一定有一个向量可由其它向量线性表示，对应于方程组中的一个方程可以由其它方程组合而成，故可将这个方程去掉得到方程组,方程组和是同解的，如果方程组的增广矩阵的行向量组还是线性相关的，那么还可以再去掉一个向量，这样一直去到所剩向量组是线性无关的为止，此时对应的方程组中的方程不能再减少了，再没有多余的方程了,把这些剩余的方程称为有效方程，这样排除了一些重复条件的干扰，问题就简化了．”
我：“这是个好问题，我们这次就是讨论这个问题．”
小明：“这个定义让我想起矩阵的子式，一个矩阵有非零子式和最高阶非零子式。对一个向量组而言，对应有无关组和最大无关组，下一个问题最大无关组是不是唯一的？”
我：“好问题，其实可以通过上面的例子来研究，很明显是不唯一的．”
根据以上讨论，可以得到最大无关组的第二个等价定义：
最大无关组的性质
（1）不唯一性：向量组的最大无关组一般不是唯一的．
（2）等量性：一个向量组的所有最大无关组所含向量的个数必相等（唯一确定的）．
（3）等价性：一个向量组与它的任一最大无关组等价，并且它的不同最大无关组之间亦彼此等价．
(４)任意一个部分无关组都可以扩充成最大无关组，任意向量组都可以通过去掉能用其它向量组的向量，最后去无所去的时候得到一个最大无关组．
4.2向量组的秩
最大无关组是向量组的一个非常重要的概念，就好像最高阶非零子式之于矩阵，我们知道，最高阶非零子式的阶数是矩阵的秩，那么向量组的最大无关组向量的个数可以定义成向量组的秩．
应用：复杂的药方配制问题
目的：通过中成药药方配制问题，理解向量组的线性相关性、最大线性无关组向量的线性表示等线性代数的知识。
问题：某中药厂用9种中草药A-I，根据不同的比例配制成了7种特效药，各用量成分见表1（单位：克）。
试解答：
（1）某医院要购买这7种特效药，但药厂的第3号药和第6号药已经卖完，请问能否用其他特效药配制出这两种脱销的药品。
（2）现在该医院想用这7种草药配制三种新的特效药，表2给出了三种新的特效药的成分，请问能否配制？如何配制？
问题（1）的分析与求解
解：（1）把每一种特效药看成一个九维列向量:
u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7分析7个列向量构成向量组的线性相关性。
若向量组线性无关，则无法配制脱销的特效药；若向量组线性相关，且能将u3,u6用其余向量线性表示，则可以配制3号和6号药品
Matlab代码
u1=[10;12;5;7;0;25;9;6;8];
u2=[2;0;3;9;1;5;4;5;2];
u3=[14;12;11;25;2;35;17;16;12];
u4=[12;25;0;5;25;5;25;10;0];
u5=[20;35;5;15;5;35;2;10;0];
u6=[38;60;14;47;33;55;39;35;6];
u7=[100;55;0;35;6;50;25;10;20];
U=[u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7]
[U0,r]=rref(U)
计算结果为
故可以配制3号和6号药。
问题（2）的分析与求解
三种新药用v1，v2，v3表示，问题化为v1，v2，v3能否由u1-u7线性表示，若能表示，则可配制；否则，不能配制。
令U=[u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,v1,v2,v3]
[U0,r]=rref(U)
由U0的最后三列可以看出结果
一个最大无关组为：u1,u2,u4,u5,u7,v3,
可以看出
v1=u1+3u2+2u4，
v2=3u1+4u2+2u4+u7
由于v3在最大无关组,不能被线性表示，所以无法配制．
我：“我来总结一下吧，这一章从线性方程组Ax=b的向量方程
引入，这样可以直观地认为b是由一些向量组合而成，而组合系数就是Ax=b的解．故引入了向量组、线性组合与线性表示等概念．我们发现对于一些线性方程组的方程可以通过线性组合组合成零向量，这样就出现线性相关与线性无关的概念，如果线性方程组对应的增广矩阵的行向量组是线性相关的，则有多余的方程，否则没有多余方程。如果将线性方程组中的多余方程去掉的话，就是没有一个方程可以由剩余方程线性表示，那么此时对应的增广矩阵的行向量组是原增广矩阵的最大无关组，向量的个数称为向量组的秩．引入最大无关向量组和秩的概念后，我们发现齐次线性方程组的通解实际上就是用解集的一个最大无关向量组来表示方程组的通解．”
小慧：“从这一章可以看出，方程组、向量组与矩阵之间的联系太密切，向量组的问题可以转化成方程组的问题，如果在这一步无法解决问题，那么进一步方程组的问题可以转化成矩阵的问题，通过矩阵的相关理论来解决．”
小明：“你们总结的好，我往后翻了翻课本，从矩阵到向量，我们将进入一个全新的领域！”
